Apertar la precipua menuo
Commons-emblem-trademark-issue.svgNuvola apps edu mathematics-p.svg
Ica artiklo bezonas revizo da ula persono qua konocas ambe Ido, ed ica temo ciencala, teknologiala, matematikala, filozofiala, sportala, edc.
Ka vu povas helpar ni revizar ol? Nuvola apps edu science.svg

En matematiko, la derivajo di funciono en punto es la signata mezuro dil rapideso a qua ta funciono chanjas kande sua varianto chanjas. Por funcioni kun multi varianti, on dicas dil partala derivajo per raporto a l’un di sua varianti.

Sur la grafo dil funciono, to korespondas a sua inklineso en ta punto.

Courbe simple.png

En l'exemplo apuda:

  • en 0, la kurvo decensas, do la derivajo y es neganta (ol valoras -1)
  • en 1, la kurvo decensas sempre, ma la inklineso es li plu mikra (-0,5).
  • en 2, la kurvo es perfekta horizontalo, do la derivajo es nula (0).
  • en 3, la kurvo acensas, do la derivajo es li pozitiva (0,5).

Indexo

Formala definoRedaktar

Sive   reala funciono kun reala valori.

On apelas procento di augmento di   en   la quanto :

 

Kad   havas limito kande   tendencas vers 0, on dicas ke   es derivadeblo en  , e sua derivajo es egala ala limito di ta procento ce di augmento. On notas lore :

 

Funciono per qua la derivajo existas en punto es dicinta derivadeblo en ta punto.

 

Ta kalkulo di limito rivenas grafike a riserchar la tangento di la kurvo en ta punto.

Do, la derivajo di funciono en punto, se ol existas, es egala ala inklineso di la tangento a grafo di la funciono en ta punto.

La derivajo povas anke esar definita sur da funcioni altra ke reala a reala valori.

Exemple, reala funciono   kun valori en  , es derivadeblo en   se e sole se omna sua koordinati es derivadeblo en   ; e sua derivajo es la funciono do la koordinati es la derivadi di koordinati di  .

Funciono derivajoRedaktar

La derivadala es ante locala nociono (derivadala en punto), ma se funciono es derivadeblo sur omna intervalo, on povas definar sua derivadala funciono sur l'intervalo en questiono. La derivadala funciono, notita   (prononcée « f prime ») o  , prenas en omni punto la valoro dil derivajo di   en ta punto.

Funciono egala a sua derivajo es nomizita exponentala.

  povas facile kalkular su de expresiono   uzanta mikra nombro di algebrala normi deduktita dil defino donita ante. La normi plu ordinare uzata esas:

Nomo Normi Kondicioni
Lineara   Kelka sive la derivadeblo funcioni   e   e la reali a e b.
Potenco   Kelka sive  , e mem kelka sive   se f es pozitiva
Produto   Kelka sive la derivadeblo funcioni   et  
Quociento   Kelka sive la derivadeblo funcioni   e la derivadeblo funcioni   ne nihila
Radiko   Kelka sive la derivadeblo funcioni   strikte pozitiva
kompozita   Kelka sive la derivadeblo funcioni   e  

derivajo di ordinara funcioniRedaktar

derivajo di funcioni potenco, log, expRedaktar

Funcioni Derivadi Kondicioni
   
     
     
      derivadeblo
     
     

Derivadi des trigonometrika funcioniRedaktar

  • Se   alors  

Demonstro :

 
 
 
 
 
 
 
 
  • Se   alors  

Demonstro :

 
 
 
 
 
 
 
 
 
  • Se   alors  

Demonstro :

  • Se   alors  

Demonstro :

  • Se   alors  

Demonstro :

  • Se   lore  


Derivadi dil inverso di trigonometrika funcionoRedaktar

  • Se  , lore  
  • Se  , lore  
  • Se  , lore  
  • Se  , lore  
  • Se  , lore  
  • Se  , lore  

derivajo di ordino nRedaktar

On definas la derivajo di ordino   per funciono   foye derivadeblo per rekurenta :

 

  es egale notita  .

Formulo di LeibnizRedaktar

Se   esas de la funcioni   foye derivadeblo, lore :

 .

En partikulara per  ,

 .

Notez la notinda analogeso kun la formulo pri la binomio di Newton.

Notizo di LeibnizRedaktar

Derivadi di procento di ligita variesoRedaktar

La derivadi en fiziko, en kemio ed en geometrioRedaktar

Analiso di funciono derivajoRedaktar

Trovinta la valori di x ube derivajo valas 0 o ne existas, trovesas la krizala nombri dil funciono. La krizala nombro di f permisas trovar implicite sua maximi e sua minimi. A efektigar la testo dil prima derivajo, on konstruktas tabelo di varianto ; se la signalilo dil funciono derivajo pasas di plu a min ante krizala nombro, on havas maximo e se la signalilo dil funciono derivajo pasas di min a plu ante la krizala nombro, on havas minimo. Pluse, kande la signalilo dil prima derivajo es pozitiva, la funciono acensas ; se ol es negativa, ol decensas. On ne konkluzas nulo se a krizala punto la funciono ne chanjas lua signalilo. En derivadinta la prima derivajo, on havas la duesma derivajo. A efektigar la testo dil duesma derivajo, trovesas la krizala nombri dil prima derivajo per lokizar en mem tabelo ; kande on observas chanjeso di signalilo dil duesma derivajo ante to krizala nombro o nombri, on dicas ke on havas un (o di) punto di inflexo. La punto di inflexo markizas chanjeso dil konkaveso dil funciono derivajo. Pozitiva signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la alta e negativa signalilo dil duesma derivajo signifikas ke la funciono es konkava vers la basa.

Konocita la chanjesi di konkaveso e la extremi dil funcion, do on povas trovar skiso di grafiko.

derivajo ed optimisesoRedaktar

Metodo por maxim bone uzar rendimento per helpo di diferenciala kalkulo:


1ma - Matematikeso

a) Defini e desegno : on definas la ne-konocata varianti ed on reprezentas li sur skemo.

b) Skribas la objektala funciono a du varianti e precizigar se on riserchas maximo o minimo en la donita situo.

c) trovar la relato inter la du varianti.

d) Skribas la objektala funciono a un varianto e precizigar la domeno dil funciono.

2ma - Analiso.

a) Derivadar la funciono per obtenar la prima derivajo.

b) trovar la krizala nombri dil funciono, ube la prima derivajo valas zero o ne existas en la intervali di domeno.

c) Efektigar la testo dil prima derivajo o la testo dil duesma derivajo per determinar la maximo o la minimo dil situo.

3ma - On formulas la respondo di konciza fasono per raporto a la questiono.

Derivadi ed asimptotiRedaktar

Tanta foye kam on determinas la asimpoti dil funciono, on povas notar li en la tabelo di varieso per trasar adequate la skiso dil grafiko.

Derivadi di exponentala e logaritma funcioniRedaktar