Teoremo di Pitagoro

Teoremo di Pitagoro esas teorio pri geometrio qua enuncas relato inter la lateri di orta triangulo en plata plano, to signifikas triangulo qua havas un orta angulo.

Ta rezulto ja konocesis dal Babiloniani sub sua numerala formo, mil yari ante Pitagoro. Euklid facis la prima departenda demonstro, qua trovesas en sua unesma libro:

Che rektangulatra trianguli, la quadrato di la latero opozanta la rekta angulo, egalesas la quadrati de du altra lateri.

Ni povas formulizigar ta enunco plu abstraktate, tale:

Esanta c la longeso di hipotenuzo di rektangulo triangulo e la longesi di du altra lateri esas a e b, lore $c^{2}=a^{2}+b^{2}$.

Variado e generaligi

Euklid anke demonstras, en la proposeso XLVIII di libro I, la reciproko du teoremo di Pitagoro :

Kad la quadrato dil un di lateri di triangulo, egalesas di quadrati di du altra lateri ; l'angulo sustenita di to lateri esas rekta.

Ni povas konkluzar di teorio e sua reciproko ta generaligo :

Kad triangulo havas di lateri di longeso a, b e c, ta triangulo es rektangulo se e sole se la quadrato di hipotenuzo egalesas a quadrati di du altra lateri

En facinta eventar la konceptajo di vektoro, on povas riformulizar la teorio kom sive :

esinta donita du vektori ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$, $\Vert {\vec {u}}+{\vec {v}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {u}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {v}}\Vert ^{2}$ se e sole se ${\vec {u}}$ e ${\vec {v}}$ esas ortogonala.

Ordinare, on havas simple la triangula inegalita :

$||{\vec {u}}+{\vec {v}}||^{2}\leq ||{\vec {u}}||^{2}+||{\vec {v}}||^{2}+2||{\vec {u}}||\cdot ||{\vec {v}}||$

ke on skribas ordinare

$||{\vec {u}}+{\vec {v}}||\leq ||{\vec {u}}||+||{\vec {v}}||.$

Demonstro

To esas sendube la teorio qua posedas la plu granda nombro di konocita pruvi (la lego di quadratesa reciprokita ecelas anke en ta domeno). En yen du :

La pruvo segun Euklid

Ante facar la demonstro, ol devas pruvar du proposesi. La prima question-esas dil equivalante di du paralelogrami di mem bazo e di mem alto :

La paralelogrami havanta mem bazo, e inter mem paraleli, es egala inter li.

Konsideras li du paralelogrami ABCD e BCFE, la du pri la mem bazo, BC, e inter la mem paraleli, BC et AF. Observez ke AD egalesas a BC (nam to esas la du bazi di paralelogramo ABCD), e BC egalesas a EF (nam to es la bazi di paralegramo BCFE), lore AD egalesas a EF.

Or, ol havas sole tri posibliti per la poziciono di punto E relata a D ; E forsan ala sinistra de D, a punto D, od ala dextre di D. Examinas omna kazo:

1. Se E jacas adsinistre de D, ED esas la komuna parto di AD e EF, lore ol esas posibla di verifikar ke AD e EF egalesas. Ma notez ke la lateri AB e DC egalesas, nam ol es di opoza lateri di paralelogramo ABCD. Anke, pro ke li punti A, E, D e F esas coline-ala, la anguli BAE e CDF egalesas. Konseque, la trianguli BAE e CDF egalesas, pro ke du lateri di la un egalesas a du lateri di l'altra, e angulo esas komuna. Do la paralelogrami ABCD e CDFE ne es ke di altra ordini di trapezo BEDC e la triangulo BAE (o CDF).
2. Se E falas a punto D, on trovas simila fasono a 1 ke la trianguli BAE e CDF es egala, e lore ke ol es posibla obtenar kam la paralelogrami ABCD e BCFE en ad-juntanta ala komuna parto BCD la triangulo BAE (o bono CDF).
3. Se E jacas addextre de D, notez ke, pro ke la linei AD e EF egalesas, en ad-juntanta a omna la lineo DE, ni trovas ke AE e DF egalesas. Per simila argumento a to uzita en la kazo 1 e 2, ol esas posibla di pruvar ke la trianguli BAE e CDF, e konseque la trapezi BADG e CGEF, egalesas. Lore, ol esas evidenta ke la paralelogrami ABCD e CDFE esas obtenita en ad-juntanta a komuna triangulo BCG la trapezo BADG (o CGEF).

La remplaso di paralelogramo per altro di mem bazo e mem alteso, justifikita per ta proposeso, konocas su en la matematiko kom la cizago. La cizago esos tre import-anta en la pruva dil la sequanta propozeso :